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引言71求解由李群的生成元所决定的微分方程组。要找到给定系统所接受的一个多参数李群，一般是不容易做到的。针对这一困难，文献[24]提出了一种附着于给定自治系统的李模(Lie Module)理论，证明了下述事实：对于给定的n阶常微分方程，若接受-1个相互独立的非平凡的单参数李群，它们的生成元可张成一个以方程的首次积分为系数域的模结构，方程所接受的任意其他单参数李群的生成元都在该模空间中。文献[24]给出了一种判定一个n阶自治系统接受某个单参数李群具体可行的方法，得到了系统接受一个单参数李群时的一系列理论结果，使得在该条件下进行系统积分和求取首次积分变得相对容易。在李模理论的基础上，文献[33,86]应用其结果找到了经典陀螺系统所接受的一个单参数李群，利用该李群对一般条件下的柯瓦列夫斯卡娅(Kowalevskaya)陀螺系统求出了关键的第四个首次积分[33,861。之后，文献[25]又对文献[33,86]的结论给予了更一般性的归纳和深入拓展，借助自治系统所接受单参数李群的形式，给出了拟齐次性的一种新定义。该定义的形式更深人广泛，使得一些经典的力学系统，如陀螺系统、体系统等均可涵括在该定义下的拟齐次自治系统中。在探索其可积性的问题上，文献[25]不仅通过讨论拟齐次自治系统首次积分的解析特性给出求解该类系统首次积分的方法，且利用李群的思想给出了2阶拟齐次多项式系统首次积分为拟齐次多项式形式的条件。关于这方面的相关工作，可具体参考文献[25,33,86]。为进一步探讨拟齐次自治系统的可积性质，本书的相关工作体现在借助李群思想揭示拟齐次自治系统不变流形的解析特性，给出求解系统不变流形的适用方法以及讨论系统首次积分次数需满足的条件。1.1.2重刚体绕固定点运动问题重刚体绕固定点运动问题是理论力学中的经典问题之一。迄今，许多文献从不同角度介绍和研究了重刚体动力学的可积性问题56,1,1-5，%)。经典陀螺系统的欧拉一泊松(Euler-Poisson)方程组描述了重刚体绕固定点转动的规律，是重要的力学系统之一。1749年，达朗贝尔(D'Alembert)首先开始了刚体绕固定点转动问题的研究，他指出，需要6个2阶常微分方程对这一些力学系统的可积性与积分方法种运动进行描述。1750年，欧拉(Euler)通过引人两组坐标系（其中一组为随体坐标)，建立了刚体动力学方程并给出刚体动力学的一般提法。此后，拉格朗日(Lagrange)、拉普拉斯(Laplace)以及泊松(Poisson)等在欧拉工作的基础上作出进一步研究，得到了由6个自治常微分方程构成的陀螺系统欧为积分该系统，一般需要5个相互独立的首次积分，而其中前三个独立的首次积分，即能量积分、面积积分以及平凡积分在不添加任何限制条件下很容易得到，后两个独立首次积分的求解是解决问题的关键。由雅可比定理14)可知，在已知三个独立积分的基础上，只要可寻找出该系统的第四个首次积分，陀螺系统就可得到完全求解。1750年，欧拉在xc=yc=zc=0情形下找到系统的第四个首次积分。1788年，拉格朗日在A=B,xc=yc=0情形下也找到了第四个首次积分。后来众多数学家参与到欧拉一泊松方程组的研究工作，如拉普拉斯、泊松、哈密顿(Hamilton)及雅可比(Jocabi)等[4]。其中泊松的工作为刚体动态研究和数学理论的连续奠定了基础，而哈密顿和雅可比的工作为力学微分系统及几何学建立了很好的联系。直至1887年，俄罗斯女数学家柯瓦列夫斯卡娅利用较艰深的微分方程解析理论在A=B=2C,yc=zc=0情形下求得了另外的第四个首次积分[5,14,6]，并进一步使用函数论的观点将系统在该情况下的解以超椭圆函数的形式表达出来[)。之后，人们继续努力寻找陀螺系统的其他完全积分的情况。从1758年到1959年两百年的时间里，借助各种方法，又得到了陀螺系统的九种特解形式，其中包括1890年得到的赫斯(Hss)Har)情形的特解等，9种特解的限制条件及具体表达式可参见文献[96]。近几年来，仍有系列文献对陀螺系统作进一步的深入研究，特别是俄罗斯的一些研究者，他们一般都是在经典陀螺系统的基础上弱化或转化条件后对其进行可积性或其他方面的研究2,2,2,1-。而文献[25,88]则利用单参数李群理论研究陀螺系统的可积性，得到了该系统接受的一个非平凡的单参数李群，并借助该李群将上述三种经典情形的首次积分进行了思想统4
