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目录序言§1.紧曲面的分类和一般性质.…$2.微分流形上动力系统的一般性质…10S3.环面上两类特殊的动力系统…21§4.Klein瓶与M6bius带上的动力系统335.射影平面上的动力系统…41$6.曲面上的P式稳定运动和中心S7.紧二维流形上连续流的拓扑分类…73…889.曲面动力系统的闭轨与奇闭轨的存在性…111§10.闭曲面上连续流的奇点、闭轨、奇闭轨和P式稳定运动的闭包等之间的关系…118§11.环面上的线性三角多项式系统.§l2.环面上的van der Pol方程及其推广…162参考文献…§1.紧曲面的分类和一般性质我们称连通的二维流形为曲面，它是球面、环面、柱面等熟知概念的推广.曲面M称为闭的，如果M是紧的且无边界.也就是说，闭曲面是一个连通紧Hausdorff空间，其中每一点有一邻域同胚于Euclic平面.本节主要介绍闭曲面的一些熟知的基本性质，以便将来可以应用.由于这些结果都是古典的，所以略去证明.有兴趣的读者可以参阅文献[1，[②，[3]，[4纠，[，[6]中的有关章节.定理1设闭曲面或带边界的紧曲面M被三角剖分而成为复形时，其顶点数为ao,边数为a1二维胞腔数为a2.以R,R,R昭分别表示此复形的零维，一维，二维的模p(p为素数或零)Betti数.则有(1)等式(I)称为M的Euler--Poincaré关系式.记其值为X(M),成为M的Euler特征T0=球面S2,T=环面T2Tg=Tg-1#T1,当g≥2为正整数时.它们被称为可定向闭曲面的模式.易见T也可视为带有一个柄的球面②.一般地，T,可视为带有g个柄的球面.因此，图1.1中的两种模式是一样的.再记：乃=射影平面PR,P2=P#P=Klein瓶K2,①两个曲面M1与M2的连通和是指：从每一曲面上各挖去一个开圆盘D与D号，然后把M1与M2沿着D子与D的边界黏合而得的曲面，记为M1#M2.严格定义见3或[4.②即从S2上挖去两个开圆盘D?与D号（剩下来的实际上是一带边柱面H2),然后把另一带边柱面（柄）的两端与S2一D?一D号沿着两个圆盘的边界黏合.给曲面M加柄实际上是作M与S2的双重连通和，即从每一曲面上各挖去两个圆盘以后再彼此黏合，今后记之为M#2$2,或记为M#H2,这里*表示作连通和时M被挖去一个开圆盘，而H2本身带边，未被挖去什么，又#的右下角的2表示M被挖去的开圆盘个数.
